segunda-feira, 6 de junho de 2011

Sobre o Infinito, O que Sabemos?



Este foi o título de um mini-curso que acabei de ministrar durante o Quinto Encontro da RPM (Revista do Professor de Matemática), realizado em Salvador nos dias 3 e 4 de junho de 2011. O grupo de participantes era relativamente pequeno, em torno de 30 pessoas, o que nos permitiu trocar ideias e fazer com que as duas sessões de 90 minutos de duração fossem bem participativas, especialmente a segunda, na qual discutimos soluções para uma pequena lista de problemas distribuída na véspera.

Devido a dificuldades técnicas, não consegui exibir a apresentação que tinha preparado, e prometi aos participantes que a publicaria, em vídeo, aqui. Ei-la:


É bom lembrar que a apresentação foi criada como apoio a minhas explicações durante as aulas, e portanto boa parte dela talvez não faça sentido sozinha.

Publico aqui, também, a lista de problemas que utilizamos. A maioria não foi resolvida em sala, portanto seria muito bom que os participantes e/ou demais leitores apresentassem aqui suas soluções para discussão.

Lista de Problemas sobre Infinito

7 comentários:

  1. oi Luciano,
    Antes de colocar alguma proposta de solução, gostaria de parabenizá-lo pelo excelente mini-curso. Sua didática e entusiasmo são excelentes.
    Grande abraço,
    sergio

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  2. Bem, na questão 1(e), eu acredito que as sequências possam ser infinitas. Neste caso, acho que voce chegou a provar em sala, usando o argumento da diagonal de Cantor, que o conjunto seria não-enumerável.

    Eu acredito que o item 1(f) cai na mesma situação: Cada número no intervalo pode ser visto como uma sequência (possivelmente infinita) de 0s e 2s. Assim, trocando o n-ésimo "bit" (0 ou 2, neste caso, ao invés de 0 ou 1) do n-ésimo número, sempre podemos gerar um número que não está na lista.

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  3. Na questão 2, minha bijeção ficou distinta da apresentada em sala de aula. Mais uma vez, eu tentei usar aquele zig-zag do Cantor.

    Seja o domínio NxN
    (vou considerar que 0 é natural para facilitar as contas):

    (0,0) (0,1) (0,2)...
    (1,0) (1,1) (1,2)...
    (2,0) (2,1) (2,2)...

    Usando o zig-zag um pouco diferente do que está na sua apresentação, eu associo:
    (0,0) -> 0; (0,1) -> 1; (1,0) -> 2
    (0,2) -> 3; (1,1) -> 4; (2,0) -> 5
    ...
    Assim, a linha do tipo (0,b) é mapeada no natural b(b+1)/2 (determinado por inspeção e provado por indução). Generalizando, o elemento (a,b) seria mapeado em a + (b+a)(b+a+1)/2.

    Não cheguei a provar a indução, mas até onde eu fui, funcionou.

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  4. Oi Luciano. Há muito tempo eu não entrava no seu blog. Gostei muito do título dessa sua postagem e pensei que fosse uma daquelas reflexivas. Claro que é reflexiva, mas no campo da matemática.

    Tenho muitas perguntas a fazer sobre o tema, mas não sei se poderiam ser respondidas pela matemática. Vou lembrar de algumas e, mais tarde, vou postar aqui.

    E fica a sugestão de você escrever algo filosófico, sociológico, antropológico, psicológico, enfim, como era no início do blog :-)

    Abração, Rufino

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  5. Olá, Professor Luciano.
    Há algum tempo venho vendo suas aulas através pelos vídeos disponibilizados no site do IMPA. Gostaria de lhe elogiar pela alta qualidade em suas aulas e de dizer que continue com as postagens em seu blog.

    Meus parabéns!

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  6. Um texto sobre esse assunto no meu blog
    http://marathoncode.blogspot.com/2012/02/conhecimento-perigoso-parte-i.html

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  7. quero que me ensina um pouco de matematica

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