Conforme prometi na semana passada durante o PAPMEM - Programa de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática do Ensino Médio, publico aqui a apresentação que usei durante a aula (em pdf), que contém não apenas os problemas que comentei, mas outros que havia selecionado. Há um total de 8 problemas. Minha intenção é publicar soluções em algum momento, mas adoraria receber as soluções dos colegas interessados.
segunda-feira, 27 de julho de 2015
Problemas Intrigantes (PAPMEM 2015)
Quer ter aulas com o Prof. Luciano?
Inscreva-se para o Workshop "Vencer no PROFMAT". Aulas aos Sábados. Início 5 de setembro.
www.vencernoprofmat.com.br
quinta-feira, 23 de julho de 2015
Novo Workshop Vencer no Profmat 2016
Em agosto do ano passado realizamos a primeira edição do Workshop "Vencer no Profmat", com o conceito de oferecer apoio aos participantes para realizarem o mais importante na preparação para qualquer concurso: estudar mais e melhor.
Um total de 48 alunos aceitaram nossa proposta e em cada um dos cinco sábados dedicaram 8 horas de trabalho intenso a sua preparação, assistindo aulas e, principalmente, realizando simulados para entrarem em contato com suas próprias dificuldades e obter ajuda para superá-las.
No aspecto objetivo, tivemos a felicidade de ver 12 desses 48 alunos serem aprovados e CLASSIFICADOS para realizarem o sonho de se tornarem mestres em Matemática nas instituições que oferecem o Profmat no Rio de Janeiro: IMPA, PUC, UERJ, UFRJ, UNIRIO e Colégio Pedro II.
Mais do que a enorme satisfação que esses classificados nos trazem, estamos orgulhosos de saber que os demais alunos consideram o aprendizado obtido valioso e importante para suas carreiras.
O Exame de acesso ao Profmat 2016 está previsto para 17 de outubro. Em se confirmando esta data, realizaremos mais uma edição do Workshop começando no dia 5 de setembro de 2015 (sábado).
O formato é o mesmo do ano passado: Cinco sábados com aulas organizadas em torno a simulados com 2 horas de duração, e um simulado completo com 4 horas de duração no último sábado. Como dizem nossos alunos, "é puxado, é cansativo, mas vale a pena."
O site para inscrições e informações é www.vencernoprofmat.com.br. (Neste momento o site está em processo de atualização para inclusão das novas datas: 5, 12, 19 e 26 de setembro e 3 de outubro).
Quer ter aulas com o Prof. Luciano?
Inscreva-se para o Workshop "Vencer no PROFMAT". Aulas aos Sábados. Início 5 de setembro.
www.vencernoprofmat.com.br
quarta-feira, 28 de janeiro de 2015
Recorrência
Sequências recorrentes como a famosa de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (a partir do terceiro, cada termo é a soma dos dois anteriores), apesar da aparência inocente, possuem termo geral um tanto misterioso. Em um primeiro contato, é difícil acreditar que a fórmula para gerar o n-ésimo termo dessa sequência envolve potências de números irracionais.
Em aula ministrada hoje no PAPMEM (que em breve estará disponível em vídeo), utilizamos o arquivo em anexo para encontrar uma motivação natural para relacionar a sequência de Fibonacci com progressões geométricas (funções exponenciais).
Em breve, mais sobre este tema.
Quer ter aulas com o Prof. Luciano?
Inscreva-se para o Workshop "Vencer no PROFMAT". Aulas aos Sábados. Início 5 de setembro.
www.vencernoprofmat.com.br
sexta-feira, 25 de julho de 2014
Um problema do Exame de Acesso ao PROFMAT 2012
No PAPMEM de julho de 2013 comentei esta questão:
(Acesso ao PROFMAT 2012 - Questão 9)
Seu João precisa pesar uma pera em uma balança de dois pratos. Ele possui $5$ pesos distintos, de $1\,$g, $3\,$g, $9\,$g, $27\,$g e $81\,$g. Seu João, equilibrando a pera com os pesos, descobriu que a pera pesa $61\,$g. Quais pesos estavam no mesmo prato que a pera?
Fiz uma edição mais enxuta do vídeo, extraindo apenas a parte da solução do problema, para facilitar os colegas interessados:
De fato, o que se faz no vídeo é resolver uma generalização deste problema, muito interessante por envolver uma representação alternativa dos inteiros na base $3$.
A generalização é a seguinte:
Prove que com o conjunto de pesos $\{1\,$g, $3\,$g, $9\,$g, $27\,$g, $81\,$g$\}$ é possível descobrir com exatidão o peso de qualquer objeto com peso $P$ em gramas inteiro de $1$ a $121$, utilizando uma balança de dois pratos, podendo-se colocar alguns pesos no mesmo prato que o objeto. A maneira de realizar esta pesagem é única para um dado valor de $P$.
De fato, os argumentos apresentados no vídeo são suficientes para ir um pouco mais além, considerando como conjunto de pesos as $n$ primeiras potências de $3$, começando de $3^0 = 1$, com o qual podemos pesar qualquer objeto com peso de $1$ até a soma dessas potências, $S_n = 1+3^1+3^2 + \cdots 3^{n-1}$.
Se somos capazes de equilibrar o objeto de peso $P$ na balança usando o conjunto de pesos do enunciado, então temos a igualdade
$$
P = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot 3^k = a_0 + a_1 \cdot 3^1 + a_2 \cdot 3^2 + \cdots + a_{n-1}\cdot 3^{n-1},
$$
na qual, para cada $k$, $a_k$ é igual a $0$, $-1$ ou $1$, se o peso de $3^k$ gramas está fora da balança, está no mesmo prato que o objeto de peso $P$, ou está no prato oposto, respectivamente.
Note a semelhança desta última igualdade com a representação de inteiros na base $3$. A única diferença é que em vez de usarmos os algarismos $0,1,2$ como possíveis valores dos coeficientes $a_k$, usamos os valores $-1,0,1$. Como $-1$ e $2$ diferem de $3$ unidades (em linguagem de congruências, $-1 \equiv 2 \pmod 3$), e o método tradicional para determinar a representação na base $3$ baseia-se nos restos de divisões sucessivas por $3$, é natural tentar utilizar este mesmo método, trocando os restos $2$ por restos $-1$. Vamos ver um exemplo diferente dos utilizados no vídeo, e, a seguir, daremos uma demonstração formal por indução.
Exemplo: $P = 413$. Dividindo $413$ por $3$ da maneira tradicional obteríamos quociente $137$ e resto $2$. Para substituir este resto por $-1$, consideramos o ``quociente" igual a $138$, já que $413 = 3 \times 138 - 1$. Isto significa que, na nossa representação alternativa em base $3$, o ``algarismo" das unidades será $a_0 = -1$. Traduzindo para a pesagem, concluímos que o peso de $1\,$g deverá ser colocado no mesmo prato que o objeto. Outra maneira de deduzir o mesmo seria observar que $413$ e $1$ são os únicos pesos não múltiplos de $3$, logo o efeito combinado de ambos deve ser múltiplo de $3$ para haver equilíbrio com os demais, e isso só pode ser obtido colocando-os juntos pois $414$ é múltiplo de $3$.
Seguindo o processo de divisões sucessivas, dividimos agora o quociente obtido, $138$, por $3$ e encontramos resto $0$ e quociente $46$. Isso significa que $a_1=0$, ou seja, o peso de $3\,$g deve ficar de fora da pesagem. Os próximos dois restos são $1$ e $0$ com quocientes $15$ e $5$, respectivamente. Agora, a divisão tradicional nos daria novamente resto $2$, logo fazemos nossa divisão alternativa e consideramos resto $-1$ e quociente $2$, finalizando com resto $-1$ novamente, e quociente $1$. Consolidando os resultados, obtemos
$$
(a_6, a_5, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0) = (1, -1, -1, 0, 1, 0, -1).
$$
Ou seja, $413$ fosse é número de $7$ algarismos em nossa base $3$ modificada, e temos $413 = 3^6 -3^5-3^4 + 3^2 - 3^0$, ou seja, devemos colocar os pesos de $3^2$ e $3^6\,$g no prato oposto, e os pesos de $1$, $3^4$ e $3^5\,$g no mesmo prato do objeto.
Demonstração por Indução:
O resultado é válido para $n=1$. Supondo que seja válido para um certo valor de $n$, provemos que será válido para $n+1$. Para isso, seja $P$ tal que $S_n < P \leq S_{n+1}$. Existem inteiros $q$ e $r$ tais que $P = 3q+r$ e $-1\leq r \leq 1$ (Como no exemplo, se o resto da divisão de $P$ por $3$, é $2$, $r=-1$ e $q$ é igual ao quociente da divisão adicionado de uma unidade. Caso contrário, $q$ e $r$ são o quociente e o resto tradicionais da divisão de $P$ por $3$). Temos
$3q+r \leq S_{n+1}$, logo
$$
q \leq \dfrac{S_{n+1}}3 - \dfrac r3 = S_n + \dfrac 13 - \dfrac r3 \leq S_n + \dfrac 23.
$$
Mas $q$ deve ser inteiro, portanto $q \leq S_n$. Pela hipótese de indução, existem inteiros $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ tais que
$$
q = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot 3^k \;\; \mbox{e} \;\; a_k \in \{-1,0,1\}.
$$
Logo
$$
P = 3q + r = \sum_{k=0}^{n} b_k \cdot 3^k,
$$
com $b_k = a_{k-1}$ para $k=1, 2, \ldots, n$ e $b_0=r$, o que conclui a demonstração.
Agradecimento:
Muito obrigado ao blog "O Baricentro da Mente" por esta postagem que explica como escrever aqui no blogger usando fórmulas em LaTeX. Funciona para os comentários também!
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/02/latex-no-blogger.html
(Acesso ao PROFMAT 2012 - Questão 9)
Seu João precisa pesar uma pera em uma balança de dois pratos. Ele possui $5$ pesos distintos, de $1\,$g, $3\,$g, $9\,$g, $27\,$g e $81\,$g. Seu João, equilibrando a pera com os pesos, descobriu que a pera pesa $61\,$g. Quais pesos estavam no mesmo prato que a pera?
Fiz uma edição mais enxuta do vídeo, extraindo apenas a parte da solução do problema, para facilitar os colegas interessados:
De fato, o que se faz no vídeo é resolver uma generalização deste problema, muito interessante por envolver uma representação alternativa dos inteiros na base $3$.
A generalização é a seguinte:
Prove que com o conjunto de pesos $\{1\,$g, $3\,$g, $9\,$g, $27\,$g, $81\,$g$\}$ é possível descobrir com exatidão o peso de qualquer objeto com peso $P$ em gramas inteiro de $1$ a $121$, utilizando uma balança de dois pratos, podendo-se colocar alguns pesos no mesmo prato que o objeto. A maneira de realizar esta pesagem é única para um dado valor de $P$.
De fato, os argumentos apresentados no vídeo são suficientes para ir um pouco mais além, considerando como conjunto de pesos as $n$ primeiras potências de $3$, começando de $3^0 = 1$, com o qual podemos pesar qualquer objeto com peso de $1$ até a soma dessas potências, $S_n = 1+3^1+3^2 + \cdots 3^{n-1}$.
Se somos capazes de equilibrar o objeto de peso $P$ na balança usando o conjunto de pesos do enunciado, então temos a igualdade
$$
P = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot 3^k = a_0 + a_1 \cdot 3^1 + a_2 \cdot 3^2 + \cdots + a_{n-1}\cdot 3^{n-1},
$$
na qual, para cada $k$, $a_k$ é igual a $0$, $-1$ ou $1$, se o peso de $3^k$ gramas está fora da balança, está no mesmo prato que o objeto de peso $P$, ou está no prato oposto, respectivamente.
Note a semelhança desta última igualdade com a representação de inteiros na base $3$. A única diferença é que em vez de usarmos os algarismos $0,1,2$ como possíveis valores dos coeficientes $a_k$, usamos os valores $-1,0,1$. Como $-1$ e $2$ diferem de $3$ unidades (em linguagem de congruências, $-1 \equiv 2 \pmod 3$), e o método tradicional para determinar a representação na base $3$ baseia-se nos restos de divisões sucessivas por $3$, é natural tentar utilizar este mesmo método, trocando os restos $2$ por restos $-1$. Vamos ver um exemplo diferente dos utilizados no vídeo, e, a seguir, daremos uma demonstração formal por indução.
Exemplo: $P = 413$. Dividindo $413$ por $3$ da maneira tradicional obteríamos quociente $137$ e resto $2$. Para substituir este resto por $-1$, consideramos o ``quociente" igual a $138$, já que $413 = 3 \times 138 - 1$. Isto significa que, na nossa representação alternativa em base $3$, o ``algarismo" das unidades será $a_0 = -1$. Traduzindo para a pesagem, concluímos que o peso de $1\,$g deverá ser colocado no mesmo prato que o objeto. Outra maneira de deduzir o mesmo seria observar que $413$ e $1$ são os únicos pesos não múltiplos de $3$, logo o efeito combinado de ambos deve ser múltiplo de $3$ para haver equilíbrio com os demais, e isso só pode ser obtido colocando-os juntos pois $414$ é múltiplo de $3$.
Seguindo o processo de divisões sucessivas, dividimos agora o quociente obtido, $138$, por $3$ e encontramos resto $0$ e quociente $46$. Isso significa que $a_1=0$, ou seja, o peso de $3\,$g deve ficar de fora da pesagem. Os próximos dois restos são $1$ e $0$ com quocientes $15$ e $5$, respectivamente. Agora, a divisão tradicional nos daria novamente resto $2$, logo fazemos nossa divisão alternativa e consideramos resto $-1$ e quociente $2$, finalizando com resto $-1$ novamente, e quociente $1$. Consolidando os resultados, obtemos
$$
(a_6, a_5, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0) = (1, -1, -1, 0, 1, 0, -1).
$$
Ou seja, $413$ fosse é número de $7$ algarismos em nossa base $3$ modificada, e temos $413 = 3^6 -3^5-3^4 + 3^2 - 3^0$, ou seja, devemos colocar os pesos de $3^2$ e $3^6\,$g no prato oposto, e os pesos de $1$, $3^4$ e $3^5\,$g no mesmo prato do objeto.
Demonstração por Indução:
O resultado é válido para $n=1$. Supondo que seja válido para um certo valor de $n$, provemos que será válido para $n+1$. Para isso, seja $P$ tal que $S_n < P \leq S_{n+1}$. Existem inteiros $q$ e $r$ tais que $P = 3q+r$ e $-1\leq r \leq 1$ (Como no exemplo, se o resto da divisão de $P$ por $3$, é $2$, $r=-1$ e $q$ é igual ao quociente da divisão adicionado de uma unidade. Caso contrário, $q$ e $r$ são o quociente e o resto tradicionais da divisão de $P$ por $3$). Temos
$3q+r \leq S_{n+1}$, logo
$$
q \leq \dfrac{S_{n+1}}3 - \dfrac r3 = S_n + \dfrac 13 - \dfrac r3 \leq S_n + \dfrac 23.
$$
Mas $q$ deve ser inteiro, portanto $q \leq S_n$. Pela hipótese de indução, existem inteiros $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ tais que
$$
q = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot 3^k \;\; \mbox{e} \;\; a_k \in \{-1,0,1\}.
$$
Logo
$$
P = 3q + r = \sum_{k=0}^{n} b_k \cdot 3^k,
$$
com $b_k = a_{k-1}$ para $k=1, 2, \ldots, n$ e $b_0=r$, o que conclui a demonstração.
Agradecimento:
Muito obrigado ao blog "O Baricentro da Mente" por esta postagem que explica como escrever aqui no blogger usando fórmulas em LaTeX. Funciona para os comentários também!
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/02/latex-no-blogger.html
Quer ter aulas com o Prof. Luciano?
Inscreva-se para o Workshop "Vencer no PROFMAT". Aulas aos Sábados. Início 5 de setembro.
www.vencernoprofmat.com.br
quarta-feira, 16 de julho de 2014
Datas definitivas do Workshop "Vencer no Profmat"
Com a publicação do edital oficial para o exame de acesso ao PROFMAT 2015,
http://www.profmat-sbm.org.br/files/Arquivos%20do%20Site/docs/Edital_06_Exame_Nacional_Acesso_2015.pdf
e a confirmação da prova de acesso para o dia 25 de outubro, decidimos adiar o início do nosso Workshop Vencer no PROFMAT para o dia 30 de agosto.
Também estendemos o prazo para inscrições com desconto até 15 de agosto.
Agradeço a compreensão daqueles que já tinham realizado sua inscrição.
Para maiores informações e para realizar sua inscrição, Clique Aqui e acesse o site do evento.
http://www.profmat-sbm.org.br/files/Arquivos%20do%20Site/docs/Edital_06_Exame_Nacional_Acesso_2015.pdf
e a confirmação da prova de acesso para o dia 25 de outubro, decidimos adiar o início do nosso Workshop Vencer no PROFMAT para o dia 30 de agosto.
Também estendemos o prazo para inscrições com desconto até 15 de agosto.
Agradeço a compreensão daqueles que já tinham realizado sua inscrição.
Para maiores informações e para realizar sua inscrição, Clique Aqui e acesse o site do evento.
Quer ter aulas com o Prof. Luciano?
Inscreva-se para o Workshop "Vencer no PROFMAT". Aulas aos Sábados. Início 5 de setembro.
www.vencernoprofmat.com.br
terça-feira, 8 de julho de 2014
Workshop Vencer no PROFMAT
Prezados colegas,
Já está no ar a página oficial de inscrições para o nosso Workshop "Vencer no PROFMAT":
www.vencernoprofmat.com.br
As datas inicialmente estipuladas supõem a realização do Exame de Ingresso em 30 de agosto de 2014, conforme o calendário acadêmico divulgado no início do ano. Estamos, no entanto, aguardando o edital oficial do concurso, e em função deste podemos alterar as datas do Workshop.
Agradeço aos colegas que me incentivaram a concretizar este projeto, principalmente os pré-incritos antes deste lançamento oficial.
Já está no ar a página oficial de inscrições para o nosso Workshop "Vencer no PROFMAT":
www.vencernoprofmat.com.br
As datas inicialmente estipuladas supõem a realização do Exame de Ingresso em 30 de agosto de 2014, conforme o calendário acadêmico divulgado no início do ano. Estamos, no entanto, aguardando o edital oficial do concurso, e em função deste podemos alterar as datas do Workshop.
Agradeço aos colegas que me incentivaram a concretizar este projeto, principalmente os pré-incritos antes deste lançamento oficial.
Quer ter aulas com o Prof. Luciano?
Inscreva-se para o Workshop "Vencer no PROFMAT". Aulas aos Sábados. Início 5 de setembro.
www.vencernoprofmat.com.br
terça-feira, 17 de junho de 2014
Para Vencer no PROFMAT (Pré-lançamento)
Prezados colegas do Blog,
Apesar da recente inatividade, fico muito feliz com o estável número de visitas deste blog. Assim, decidi anunciar a vocês em primeira mão o lançamento do Workshop "Vencer no PROFMAT", a realizar-se, sob minha coordenação, a partir do último sábado do mês de julho, no centro do Rio de Janeiro.
A iniciativa responde a insistentes pedidos de vários colegas professores com quem tive o privilégio de conviver nos últimos anos em diversos eventos para professores.
Este Workshop será uma oportunidade para os colegas candidatos ao PROFMAT 2015 prepararem-se de forma ativa para o exame de acesso marcado para o sábado dia 30 de agosto, durante os cinco sábados anteriores. (Datas sujeitas a alteração em função do edital oficial do concurso)
Cada sábado, os participantes terão seis horas de aulas, organizadas ao redor de um simulado com duas horas de duração, totalizando oito horas de trabalho. No último sábado do projeto, dia 23 de agosto (sujeito a alteração como citado antes), faremos um simulado completo com 40 questões e quatro horas de duração.
Acompanham-me neste projeto três professores brilhantes: Marcelo Xavier, Álvaro de Jesus Netto, e Gilberto Gil Gomes. Tenho certeza de que a qualidade dos encontros será altíssima e criaremos um ambiente agradável e produtivo para ajudar os participantes a atingirem desempenho ótimo no exame.
Clique aqui para mais detalhes sobre o Workshop, incluindo valores e inscrição.
Apesar da recente inatividade, fico muito feliz com o estável número de visitas deste blog. Assim, decidi anunciar a vocês em primeira mão o lançamento do Workshop "Vencer no PROFMAT", a realizar-se, sob minha coordenação, a partir do último sábado do mês de julho, no centro do Rio de Janeiro.
A iniciativa responde a insistentes pedidos de vários colegas professores com quem tive o privilégio de conviver nos últimos anos em diversos eventos para professores.
Este Workshop será uma oportunidade para os colegas candidatos ao PROFMAT 2015 prepararem-se de forma ativa para o exame de acesso marcado para o sábado dia 30 de agosto, durante os cinco sábados anteriores. (Datas sujeitas a alteração em função do edital oficial do concurso)
Cada sábado, os participantes terão seis horas de aulas, organizadas ao redor de um simulado com duas horas de duração, totalizando oito horas de trabalho. No último sábado do projeto, dia 23 de agosto (sujeito a alteração como citado antes), faremos um simulado completo com 40 questões e quatro horas de duração.
Acompanham-me neste projeto três professores brilhantes: Marcelo Xavier, Álvaro de Jesus Netto, e Gilberto Gil Gomes. Tenho certeza de que a qualidade dos encontros será altíssima e criaremos um ambiente agradável e produtivo para ajudar os participantes a atingirem desempenho ótimo no exame.
Clique aqui para mais detalhes sobre o Workshop, incluindo valores e inscrição.
Quer ter aulas com o Prof. Luciano?
Inscreva-se para o Workshop "Vencer no PROFMAT". Aulas aos Sábados. Início 5 de setembro.
www.vencernoprofmat.com.br
Assinar:
Postagens (Atom)