sexta-feira, 25 de julho de 2014

Um problema do Exame de Acesso ao PROFMAT 2012

No PAPMEM de julho de 2013 comentei esta questão:

(Acesso ao PROFMAT 2012 - Questão 9)

Seu João precisa pesar uma pera em uma balança de dois pratos. Ele possui $5$ pesos distintos, de $1\,$g, $3\,$g, $9\,$g, $27\,$g e $81\,$g. Seu João, equilibrando a pera com os pesos, descobriu que a pera pesa $61\,$g. Quais pesos estavam no mesmo prato que a pera?

Fiz uma edição mais enxuta do vídeo, extraindo apenas a parte da solução do problema, para facilitar os colegas interessados:




De fato, o que se faz no vídeo é resolver uma generalização deste problema, muito interessante por envolver uma representação alternativa dos inteiros na base $3$.

A generalização é a seguinte:

Prove que com o conjunto de pesos $\{1\,$g, $3\,$g, $9\,$g, $27\,$g, $81\,$g$\}$ é possível descobrir com exatidão o peso de qualquer objeto com peso $P$ em gramas inteiro de $1$ a $121$, utilizando uma balança de dois pratos, podendo-se colocar alguns pesos no mesmo prato que o objeto. A maneira de realizar esta pesagem é única para um dado valor de $P$.

De fato, os argumentos apresentados no vídeo são suficientes para ir um pouco mais além, considerando como conjunto de pesos as $n$ primeiras potências de $3$, começando de $3^0 = 1$, com o qual podemos pesar qualquer objeto com peso de $1$ até a soma dessas potências, $S_n = 1+3^1+3^2 + \cdots 3^{n-1}$.

Se somos capazes de equilibrar o objeto de peso $P$ na balança usando o conjunto de pesos do enunciado, então temos a igualdade
$$
P = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot 3^k = a_0 + a_1 \cdot 3^1 + a_2 \cdot 3^2 + \cdots + a_{n-1}\cdot 3^{n-1},
$$
na qual, para cada $k$, $a_k$ é igual a $0$, $-1$ ou $1$, se o peso de $3^k$ gramas está fora da balança, está no mesmo prato que o objeto de peso $P$, ou está no prato oposto, respectivamente.

Note a semelhança desta última igualdade com a representação de inteiros na base $3$. A única diferença é que em vez de usarmos os algarismos $0,1,2$ como possíveis valores dos coeficientes $a_k$, usamos os valores $-1,0,1$. Como $-1$ e $2$ diferem de $3$ unidades (em linguagem de congruências, $-1 \equiv 2 \pmod 3$), e o método tradicional para determinar a representação na base $3$ baseia-se nos restos de divisões sucessivas por $3$, é natural tentar utilizar este mesmo método, trocando os restos $2$ por restos $-1$. Vamos ver um exemplo diferente dos utilizados no vídeo, e, a seguir, daremos uma demonstração formal por indução.

Exemplo: $P = 413$. Dividindo $413$ por $3$ da maneira tradicional obteríamos quociente $137$ e resto $2$. Para substituir este resto por $-1$, consideramos o ``quociente" igual a $138$, já que $413 = 3  \times 138 - 1$. Isto significa que, na nossa representação alternativa em base $3$, o ``algarismo" das unidades será $a_0 = -1$. Traduzindo para a pesagem, concluímos que o peso de $1\,$g deverá ser colocado no mesmo prato que o objeto. Outra maneira de deduzir o mesmo seria observar que $413$ e $1$ são os únicos pesos não múltiplos de $3$, logo o efeito combinado de ambos deve ser múltiplo de $3$ para haver equilíbrio com os demais, e isso só pode ser obtido colocando-os juntos pois $414$ é múltiplo de $3$.

Seguindo o processo de divisões sucessivas, dividimos agora o quociente obtido, $138$, por $3$ e encontramos resto $0$ e quociente $46$. Isso significa que $a_1=0$, ou seja, o peso de $3\,$g deve ficar de fora da pesagem. Os próximos dois restos são $1$ e $0$ com quocientes $15$ e $5$, respectivamente. Agora, a divisão tradicional nos daria novamente resto $2$, logo fazemos nossa divisão alternativa e consideramos resto $-1$ e quociente $2$, finalizando com resto $-1$ novamente, e quociente $1$. Consolidando os resultados, obtemos
$$
(a_6, a_5, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0) = (1, -1, -1, 0, 1, 0, -1).
$$

Ou seja, $413$ fosse é número de $7$ algarismos em nossa base $3$ modificada, e temos $413 =  3^6 -3^5-3^4 + 3^2 - 3^0$, ou seja, devemos colocar os pesos de $3^2$ e $3^6\,$g no prato oposto, e os pesos de $1$, $3^4$ e $3^5\,$g no mesmo prato do objeto.

Demonstração por Indução:
O resultado é válido para $n=1$. Supondo que seja válido para um certo valor de $n$, provemos que será válido para $n+1$. Para isso, seja $P$ tal que $S_n < P \leq S_{n+1}$. Existem inteiros $q$ e $r$ tais que $P = 3q+r$ e $-1\leq r \leq 1$ (Como no exemplo, se o resto da divisão de $P$ por $3$, é $2$, $r=-1$ e $q$ é igual ao quociente da divisão adicionado de uma unidade. Caso contrário, $q$ e $r$ são o quociente e o resto tradicionais da divisão de $P$ por $3$). Temos
$3q+r \leq S_{n+1}$, logo
$$
q \leq \dfrac{S_{n+1}}3 - \dfrac r3 = S_n + \dfrac 13 - \dfrac r3 \leq S_n + \dfrac 23.
$$

Mas $q$ deve ser inteiro, portanto $q \leq S_n$. Pela hipótese de indução, existem inteiros $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ tais que
$$
q = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot 3^k \;\; \mbox{e} \;\; a_k \in \{-1,0,1\}.
$$

Logo
$$
P = 3q + r = \sum_{k=0}^{n} b_k \cdot 3^k,
$$
com $b_k = a_{k-1}$ para $k=1, 2, \ldots, n$ e $b_0=r$, o que conclui a demonstração.

Agradecimento:
Muito obrigado ao blog "O Baricentro da Mente" por esta postagem que explica como escrever aqui no blogger usando fórmulas em LaTeX. Funciona para os comentários também!

http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/02/latex-no-blogger.html

quarta-feira, 16 de julho de 2014

Datas definitivas do Workshop "Vencer no Profmat"

Com a publicação do edital oficial para o exame de acesso ao PROFMAT 2015,

http://www.profmat-sbm.org.br/files/Arquivos%20do%20Site/docs/Edital_06_Exame_Nacional_Acesso_2015.pdf

e a confirmação da prova de acesso para o dia 25 de outubro, decidimos adiar o início do nosso Workshop Vencer no PROFMAT para o dia 30 de agosto.

Também estendemos o prazo para inscrições com desconto até 15 de agosto.

Agradeço a compreensão daqueles que já tinham realizado sua inscrição.

Para maiores informações e para realizar sua inscrição, Clique Aqui e acesse o site do evento.


terça-feira, 8 de julho de 2014

Workshop Vencer no PROFMAT

Prezados colegas,

Já está no ar a página oficial de inscrições para o nosso Workshop "Vencer no PROFMAT":

www.vencernoprofmat.com.br

As datas inicialmente estipuladas supõem a realização do Exame de Ingresso em 30 de agosto de 2014, conforme o calendário acadêmico divulgado no início do ano. Estamos, no entanto, aguardando o edital oficial do concurso, e em função deste podemos alterar as datas do Workshop.

Agradeço aos colegas que me incentivaram a concretizar este projeto, principalmente os pré-incritos antes deste lançamento oficial.

terça-feira, 17 de junho de 2014

Para Vencer no PROFMAT (Pré-lançamento)

Prezados colegas do Blog,

Apesar da recente inatividade, fico muito feliz com o estável número de visitas deste blog. Assim, decidi anunciar a vocês em primeira mão o lançamento do Workshop "Vencer no PROFMAT", a realizar-se, sob minha coordenação, a partir do último sábado do mês de julho, no centro do Rio de Janeiro.

A iniciativa responde a insistentes pedidos de vários colegas professores com quem tive o privilégio de conviver nos últimos anos em diversos eventos para professores.


Este Workshop será uma oportunidade para os colegas candidatos ao PROFMAT 2015 prepararem-se de forma ativa para o exame de acesso marcado para o sábado dia 30 de agosto, durante os cinco sábados anteriores. (Datas sujeitas a alteração em função do edital oficial do concurso)

Cada sábado, os participantes terão seis horas de aulas, organizadas ao redor de um simulado com duas horas de duração, totalizando oito horas de trabalho. No último sábado do projeto, dia 23 de agosto (sujeito a alteração como citado antes), faremos um simulado completo com 40 questões e quatro horas de duração.

Acompanham-me neste projeto três professores brilhantes: Marcelo Xavier, Álvaro de Jesus Netto, e Gilberto Gil Gomes. Tenho certeza de que a qualidade dos encontros será altíssima e criaremos um ambiente agradável e produtivo para ajudar os participantes a atingirem desempenho ótimo no exame.

Clique aqui para mais detalhes sobre o Workshop, incluindo valores e inscrição. 

domingo, 24 de março de 2013

Geogebra - Feixes de Circunferências

Conforme prometido em minha última aula no POTI - Pólos Olímpicos de Treinamento Intensivo, disponibilizo aqui o arquivo formato Geogebra utilizado por mim para apresentar feixes de circunferências coaxiais, gerando figuras como esta:


Para acessar o arquivo, siga este link: Feixe_Circunferencias.ggb


As aulas do POTI estão sendo gravadas em vídeo e encontram-se disponíveis neste endereço: http://poti.impa.br/index.php/videos/geometria.

Até o momento ainda não foram publicadas as aulas de 2013, em particular esta, que é a aula 11 de Geometria do Nível 3, ministrada no dia 22/03/2013.

quinta-feira, 26 de janeiro de 2012

Logaritmo - PAPMEM 2012

Olá!

Primeiramente, obrigado a todos que têm escrito comentários e mantido este blog ainda "vivo", apesar de eu ter demorado tanto a escrever. Obrigado também aos que têm me estimulado a escrever mais.

Esta está sendo uma semana muito intensa, com dois eventos importantes acontecendo ao mesmo tempo: A "Semana Olímpica" da OBM, em Maceió, e o "PAPMEM", no IMPA - Rio de Janeiro.

Aproveitei para passar, na segunda-feira, pelo pólo do PAPMEM em Maceió. Apareci de surpresa, e fui recebido de forma muito entusiasmada pelos participantes. Tive a oportunidade de liderar a sessão de problemas da parte da tarde, e presenciei discussões de alto nível sobre Matemática e ensino. Agradeço a paciência com que os participantes receberam meus comentários a suas exposições. Seguem algumas fotos:

Maceió: Professores-Alunos resolvendo exercícios
Maceió: Turma concentrada e participativa



Em breve editarei esta postagem para incluir mais material, mas queria atender o pedido de alguns alunos aqui do Rio e publicar a lista de problemas de logaritmo:


Os exercícios 1 a 4 fizeram parte da discussão vespertina de hoje. Já os de 5 a 7 foram elaborados para a aula, sendo que apenas o 7 foi comentado, ficando assim o 5 e 6 como "dever de casa". Por favor, publiquem suas soluções aqui na parte de comentários.

Isto é tudo por enquanto, pois tenho 10 min para voltar para a sala de aula!

segunda-feira, 6 de junho de 2011

Sobre o Infinito, O que Sabemos?



Este foi o título de um mini-curso que acabei de ministrar durante o Quinto Encontro da RPM (Revista do Professor de Matemática), realizado em Salvador nos dias 3 e 4 de junho de 2011. O grupo de participantes era relativamente pequeno, em torno de 30 pessoas, o que nos permitiu trocar ideias e fazer com que as duas sessões de 90 minutos de duração fossem bem participativas, especialmente a segunda, na qual discutimos soluções para uma pequena lista de problemas distribuída na véspera.

Devido a dificuldades técnicas, não consegui exibir a apresentação que tinha preparado, e prometi aos participantes que a publicaria, em vídeo, aqui. Ei-la:


É bom lembrar que a apresentação foi criada como apoio a minhas explicações durante as aulas, e portanto boa parte dela talvez não faça sentido sozinha.

Publico aqui, também, a lista de problemas que utilizamos. A maioria não foi resolvida em sala, portanto seria muito bom que os participantes e/ou demais leitores apresentassem aqui suas soluções para discussão.

Lista de Problemas sobre Infinito