sábado, 19 de fevereiro de 2011

Método de Newton no Geogebra

Na última edição do PAPMEM, janeiro passado, durante minha aula sobre polinômios utilizei uma planilha dinâmica no Geogebra para ilustrar o método de Newton. Prometi disponibilizá-la aqui, e depois da correria do início do ano letivo finalmente estou cumprindo a promessa.

Antes, os detalhes técnicos: para abrir o arquivo você precisa utilizar o programa Geogebra, que é livre e gratuito, e pode ser encontrado em www.geogebra.org. Para gerar o arquivo eu utilizei a versão 3.2.46.0.
O programa é espetacular, e tem melhorado significativamente a cada versão. Para quem não conhece, este arquivo pode dar uma pequena ideia do muito que se pode fazer com este programa.

Você pode baixar o arquivo seguindo este link: PAPMEM2011_Newton.ggb

A planilha resolve, pelo método de Newton, o seguinte problema de Matemática Financeira:

Uma loja oferece dois planos de pagamento para seus clientes: à vista com desconto d, ou em n parcelas mensais iguais, sem juros e sem entrada. Qual é a taxa de juros implícita que está sendo cobrada pela loja?
Por exemplo, se o desconto é de 10% e o número de parcelas é 5, a solução utilizando a planilha do Geogebra tem o seguinte aspecto:

  (clique na imagem para vê-la em tamanho maior)

O gráfico apenas ilustra geometricamente as duas primeiras interações do método de Newton (partindo da aproximação x_0 obter x_1, e depois x_2). Mas a planilha faz 15 interações, e vê-se que a partir da sexta o valor com 10 casas decimais já se estabiliza em 0,0361802484, o que mostra a eficiência do método neste caso. A taxa de juros, é, portanto 3,61802484%, com precisão muito maior que o necessário na prática.

Para resolver o problema para outros valores dos parâmetros, basta modificar o valor das células A2 (número de parcelas) e B2 (desconto). O valor da aproximação inicial do método de Newton, x_0, está na célula B6 e também pode ser modificado. Um exercício interessante é substituir o valor de x_0 pelo de x_1 e ir acompanhando graficamente as próximas interações do método.

Como sempre, esta aula do PAPMEM está gravada em vídeo e pode ser acessada seguindo este link: http://strato.impa.br/videos/PAPMEM_JAN11/papmem_jan2011_27012011_luciano_02.flv
No vídeo você encontra mais detalhes sobre o método de Newton, além de poder ver a planilha sendo utilizada.

Lembre-se de escrever seus comentários, sugestões ou dúvidas sobre a utilização do arquivo. Ou se preferir, mande um email.

3 comentários:

  1. Oi Luciano,

    Por uma grande coincidência, eu também uso um exemplo desse tipo nas minhas aulas de Cálculo Numérico. Mas nunca pensei em usar o Geogebra... tudo bem se eu "emprestar" essa ideia?

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  2. Carlos,

    Claro que sim! A ideia de compartilhar a planilha é esta mesma, que as pessoas usem como quiserem! A visualização no Geogebra é excelente, eu não tenho dúvidas de que é a melhor forma de entender o Método de Newton, inclusive o perigo de escolher mal a primeira aproximação, que é algo muito importante ao programar.

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  3. O programa devolve a taxa de juros mensal cobrada pelo estabelecimento na compra a prazo. Então se a taxa for maior do que a taxa que o dinheiro vale para você, é melhor comprar à vista. E se a taxa dada pelo programa for menor do que a taxa que o dinheiro vale para você então é melhor comprar a prazo.
    É isso?

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