domingo, 11 de abril de 2010

Quem Disse Que Zero Sobre Zero é Indeterminado?

Ainda não descobri uma boa maneira de escrever Matemática na web, portanto escrevi este artigo em LaTeX, e você encontra o arquivo pdf aqui:

Quem Disse Que Zero Sobre Zero é Indeterminado?

A ideia deste artigo surgiu após uma conversa com dois excelentes professores de Matemática, na qual percebi que este tema pode ser bastante polêmico.

Gostaria muito de conhecer a opinião dos leitores sobre o assunto.

[Acrescentado em 13/04/2010]:
Agradeço ao meu aluno Matheus Secco por revisar a primeira versão e contribuir com valiosos comentários.

11 comentários:

  1. Oi Luciano, ainda não li o artigo mas eu li sobre como escrever sobre matemática (LaTeX para ser mais específico) em
    http://legauss.blogspot.com/2009/01/vamos-brincar-com.html

    Não sei se vai te ajudar, mas fica aí a tentativa.

    Agora vou ler o seu artigo :)

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  2. Nesse momento não sou humilde o suficiente pra ler esse artigo...

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  3. OK, agora li o artigo.

    Sobre a parte de Cálculo, o que acho que o 0/0 aparece porque o conceito de limite (e, na minha opinião, o Cálculo em geral) é mais profundo do que parece. Note que digo "profundo" e não "difícil". Um limite é uma igualdade que na verdade é obtida a partir de desigualdades. Eu mesmo só entendi isso de verdade bem mais tarde, quando estava começando a lecionar. Quando fiz Cálculo eu acabei me concentrando mais nas regrinhas de limites e derivadas e integrais do que no conceito em si. Só quando li um pouco sobre análise que tudo veio à tona.

    Quando os alunos me perguntam sobre o famigerado "0/0" em limites, eu costumo dizer o seguinte: que na verdade não se está dividindo zero por zero, e sim um número muito pequeno por outro número muito pequeno, e não dá para prever o resultado como, por exemplo, dividir um número próximo de 4 por outro próximo de 2, que se sabe ser próximo de 2. Eu sei que estou cometendo um grande abuso de linguagem (na verdade, divide-se muitos números pequenos por muitos números pequenos, inter-relacionados entre si), mas acho que acaba sendo satisfatório.

    E o engraçado é que, por coincidência, nas últimas semanas eu tenho falado sobre limites com infinito trocando o símbolo de infinito por palavras como "grandão" ou "grandãozão"...

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  4. Olá Luciano.
    Nós já havíamos conversado sobre esse assunto há alguns anos e chegamos a um acordo.
    Mas ainda assim eu li o seu artigo certo de que aprenderia algo novo e aprendi.
    Há alguns anos eu dava aula para os nossos alunos numa turma de pré-militar e utilizei indevidamente a regra de Cramer para classificar um sistema como indeterminado. Não que eu tivesse aprendido dessa maneira, mas porque eu desaprendi lendo um livro didático. Achei a técnica didática e tratei de utilizá-la sem verificar a sua autenticidade. Foi quando seus alunos prontamente me corrigiram, citando-me o contra-exemplo mencionado no artigo. Eu me senti gratificado por ter aprendido indiretamente com você através dos nossos alunos, mas não tive ocasião para agradecê-lo. Eu acho que o momento e o lugar são mais do que adequados.
    Obrigado, mestre.
    Acredito que o artigo carrega muito mais do que uma simples discussão sobre o assunto do título. Há ainda uma aula sobre teoremas que são utilizados comumente de maneira inadequada, portanto eu gostaria muito de vê-lo publicado em alguma revista voltada a professores como eu.
    Um grande abraço e feliz aniversário para nós dois e para a Alícia.

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  5. Lu,
    Ao ler seu artigo, lembrei-me das aulas de matemática que me deu quando eu cursava o ensino médio em Valladolid: matriz, limite, derivada, integral, inúmeras demonstrações...etc
    E nossas conversas na madrugada sobre Infinito, sobre a necessidade dos axiomas, etc. E o Teorema de Fermat? Ainda não tinha solução... Lembra-se da solução publicada? Estava errada!....
    Eu achava tudo aquilo uma grande viagem!
    Estudamos tanto que cheguei a ser capaz de responder a algumas questões de prova utilizando "criações geométricas" ao invés daquelas esperadas e "aburridas" soluções analíticas: o produto escalar entre dois vetores é o produto dos módulos vezes o cosseno do ângulo entre eles. Escrevi certo?
    A professora nem entendia as soluções e me dava zero!... Lembra-se? ...nos divertimos muito com isso.....rsrs
    Talvez eu tenha compreendido a maior parte de seu artigo por isso: porque tive um excelente professor. Rígido sim, as vezes até bravo... mas inquestionavelmente o mais genial de todos!
    Aprendi e continuo aprendendo muito com você... não só sobre matemática!
    Obrigada.

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  6. Este comentário foi removido pelo autor.

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  7. Oi Luciano, ajudei a revisar o artigo e fiz só aquele comentário, porque de resto achava que não tinha o que tirar nem por.Concordo integralmente com o que você falou, você sempre tão esclarecedor com suas explicações.
    Sem dúvidas, você é um dos melhores professores que eu já tive, não só considerando os de Matemática, e tudo o que eu sei de Matemática hoje em dia se deve em grande parte à sua ajuda, às suas cobranças (lembra quando eu descobri que ia pra IMO ano passado?A primeira coisa que você fez foi me dar um puxão de orelhas porque eu não tinha ido tão bem no quarto teste e quase comprometi minha ida.Em um primeiro instante, achei aquilo muito estranho e curioso, mas depois vim a entender.Sabia que você confiava em mim e dei meu máximo na IMO e na Ibero ano passado.)
    Obrigado de novo por ter contribuído de forma essencial pra minha formação matemática, que está só começando!
    Um abraço de um de seus alunos prediletos (e mais humildes também :P),
    Matheus!

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  8. Ao ler o comentário do Matheus percebi que esqueci de mencionar e agradecer a revisão que ele fez na primeira versão. Acabo de corrigir isso na postagem original.

    Obrigado, Matheus!

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  9. Oi mestre, parabéns pela iniciativa!

    Quando encontro um limite dando 0/0, penso comigo: não consegui determinar o limite, preciso procurar outro caminho.

    Acho que uma boa denominação para quando isso ocorre seria ...

    bom não sei o que poderia ser, com poucas palavras ...

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  10. Tio Paulinho e Bianca12/08/2010 17:30

    Oi Luciano.
    Soubemos da reportagem sobre você na Folha Dirigida e ficamos muito orgulhosos !
    Esse texto que você postou no seu blog também é muito bacana ! Demonstra muito bem a importância que um bom professor tem nas nossas vidas.
    Torcemos para que você continue se desenvolvendo e fazendo seu trabalho com tanto carinho e dedicação.
    Um grande beijo, Tio Paulinho e Bianca

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  11. lim [ x3/(sen(x-x))] nao e igual a -6 !
    x->0

    e igual a ZERO.

    0.0.0/(sen(0)) = 0/0

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